Question

已知曲線C：

x|x|

a2

-

y|y|

b2

=1，給出以下結論：
①垂直于x軸的直線與曲線C只有一個交點
②直線y=kx+m（k，m∈R）與曲線C最多有三個交點
③曲線C關于直線y=-x對稱
④若P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）為曲線C上任意兩點，則有

y1-y2

x1-x2

＞0
寫出正確結論的序號

 

．

Answer 1

分析：去掉絕對值，化簡曲線的方程，結合圖形分析每個選擇支的正確性，找出正確的選項．

解答：解：當x＞0，y＞0 時，方程是

x2

a2

-

y2

b2

=1，圖象是焦點在x軸上的雙曲線位于第一象限內的部分，
當 x＞0，y＜0 時，方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1，圖象是橢圓在第四象限內的部分，
當 x＜0，y＞0 時，方程 是

x2

a2

+

y2

b2

=-1，不表示任何圖形，
當 x＜0，y＜0 時，方程是

y2

b2

-

x2

a2

=1，圖象是焦點在y軸上的雙曲線位于第三象限內的部分．
數形結合得，由曲線形狀知，①正確，②正確．
③不正確，∵把方程中的x換成-y，y換成-x后，得到曲線方程和原來的方程不一樣，∴曲線C不關于直線y=-x對稱．
④正確，因為圖象上任意的2個點連線的斜率都大于0．
故答案為 ①②④．

點評：本題考查曲線與方程的概念，體現分類討論、數形結合的數學思想，屬于中檔題．