Question

若函數f（x）=-tx²+2x+1（t＜0，t為常數），對于任意兩個不同的x₁，x₂，當x₁，x₂∈[-2，2]時，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|（ k為常數，k∈R）成立，如果滿足條件的最小正整數k等于4，則實數t的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|（ k為常數，k∈R）成立，變為|-t（x₁+x₂）+2|≤k當x₁，x₂∈[-2，2]時，恒成立，如果滿足條件的最小正整數k等于4得到|-t（x₁+x₂）+2|≤4，當x₁，x₂∈[-2，2]時，恒成立，求出t的范圍即可．

解答：解：根由題意f（x）=-tx²+2x+1（t＜0，t為常數），對于任意兩個不同的x₁，x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|（ k為常數，k∈R）成立，
∴|-t（x₁+x₂）+2|≤k當x₁，x₂∈[-2，2]時，恒成立，
∵x₁，x₂∈[-2，2]，任意兩個不同的x₁，x₂，t＜0
∴-t（x₁+x₂）+2∈（4t+2，-4t+2）
∴|-t（x₁+x₂）+2|∈[0，-4t+2）
∴-4t+2＜k
∵滿足條件的最小正整數k等于4，
∴-4t+2＜4
∴t＞-

1

2

，
∵t＜0，t為常數
∴-

1

2

＜t＜0
故答案為（-

1

2

，0）

點評：考查學生函數與方程的綜合運用能力，以及理解不等式恒成立條件的能力．