Question

已知函數f（x）=（x²-3x+3）e^x的定義域為[-2，t]，其中常數t＞-2，e為自然對數的底數．
（1）若函數f（x）是增函數，求實數t的取值范圍；
（2）求證：f（t）＞13e^-2；
（3）設f'（x）表示函數f（x）的導函數，g(x)=

f′(x)

ex

-

2

3

(t-1)2，求函數g（x）在區間（-2，t）內的零點個數．

Answer 1

分析：（1）若函數f（x）是增函數，則必要導數f'（x）≥0，由此不等式即可解出實數t的取值范圍；
（2）由題意求證f（t）＞13e^-2，可解出函數f（x）在區間[-2，+∞）上的最小值，由此最小值與13e^-2作比較即可證明此不等式；
（3）由題意先解出g(x)=

f′(x)

ex

-

2

3

(t-1)2的解析式，由所得的解析式，及零點判定定理知，可研究此函數在區間（-2，t）兩個端點值的符號及區間內函數最值的符號，由定理判斷出零點個數即可

解答：解：（1）f（x）=（x²-3x+3）e^x，f'（x）=（x²-x）e^x=x（x-1）e^x，…（1分）
f'（x）≥0?x≥1或x≤0，…（2分）
若函數f（x）是定義域[-2，t]上的增函數，知t的取值范圍是（-2，0]．…（4分）
（2）由（1）知函數f（x）的增區間為[-2，0]與[1，+∞），減區間為[0，1]，
從而函數f（x）在區間[-2，+∞）上有唯一的極小值f（1）=e，…（6分）
但f（-2）=13e^-2＜e（∵e-13e-2=

e3-13

e

＞

2．53-13

e

＞

15-13

e

=0)，
故函數f（x）在區間[-2，+∞）上的最小值為f（-2）=13e^-2，…（8分）
因為t＞-2，所以f（t）＞f（-2）=13e^-2．…（9分）
（3）g(x)=

f′(x)

ex

-

2

3

(t-1)2=x(x-1)-

2

3

(t-1)2
函數g（x）的圖象是開口向上、對稱軸為x=

1

2

的拋物線，
且g(-2)=-

2

3

(t+2)(t-4)，g(

1

2

)=-

1

4

-

2

3

(t-1)2＜0，g(t)=

1

3

(t+2)(t-1)．
函數g（x）在區間（-2，t）內有兩個零點?

t＞ 1 2 g(-2)＞0 g(t)＞0

?1＜t＜4；…（9分）
當-2＜t≤1時，g（-2）＞0，g（t）≤0，又由g(

1

2

)＜0可知，函數g（x）在區間（-2，t）內只有一個零點；…（11分）
當t≥4時，g（-2）＜0，g（t）＞0，可知，函數g（x）在區間（-2，t）內只有一個零點．…（13分）
綜上，當1＜t＜4時，函數g（x）在區間（-2，t）內有兩個零點；
當-2＜t≤1或t≥4時，函數g（x）在區間（-2，t）內只有一個零點．（14分）

點評：本題考查導數在最值問題中的運用，利用導數研究單調性，再利用單調性求最值，這是導數的重要運用，解答本題，第一小題關鍵是理解導數與函數單調性的關系，第二小題關鍵是將證明不等式問題轉化為利用導數解出函數的最值，從而證明不等式，第三題解題的關鍵是理解零點定理及函數區間內函數最值的判斷，本題考查了轉化的思想分類討論思想等，由于本題運算量較大，易因運算導致錯誤，解題時要嚴謹