Question

已知三條直線l₁：2x－y＋a＝0（a＞0），直線l₂：－4x＋2y＋1＝0和直線l₃：x＋y－1＝0，且l₁與l₂的距離是.

（1）求a的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m           

（2）求l₃到l₁的角θ；

（3）能否找到一點P，使得P點同時滿足下列三個條件：①P是第一象限的點；②P點到l₁的距離是P點到l₂的距離的；③P點到l₁的距離與P點到l₃的距離之比是∶？若能，求P點坐標；若不能，請說明理由.

Answer 1

解析：（1）l₂即2x－y－＝0，∴l₁與l₂的距離d＝＝.

∴＝.∴|a＋|＝.∵a＞0，∴a＝3. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m           

（2）由（1），l₁即2x－y＋3＝0，∴k₁＝2.而l₃的斜率k₃＝－1，

∴tanθ＝＝＝－3.  ∵0≤θ＜π，∴θ＝π－arctan3.

（3）設點P（x₀，y₀），若P點滿足條件②，則P點在與l₁、l₂平行的直線l′：2x－y＋C＝0上，

且＝，即C＝或C＝，∴2x₀－y₀＋＝0或2x₀－y₀＋＝0；

若P點滿足條件③，由點到直線的距離公式，

有＝，即|2x₀－y₀＋3|＝|x₀＋y₀－1|，

∴x₀－2y₀＋4＝0或3x₀＋2＝0.  由P在第一象限，∴3x₀＋2＝0不可能.

聯立方程2x₀－y₀＋＝0和x₀－2y₀＋4＝0，     

應舍去.

解得：x₀＝－3，y₀＝，      w.w.w.k.s.5.u.c.o.m           

由2x₀－y₀＋＝0，x₀－2y₀＋4＝0，　　解得：x₀＝，y₀＝.

∴P（，）即為同時滿足三個條件的點.