Question

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示, 其正視圖為矩形,左視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.（1）證明：⊥平面（2）求平面與平面所成角的余弦值；

Answer 1

（1）通過建系證明，．得到,.故⊥平面.
（2）二面角C－NB₁－C₁的余弦值為．

試題分析：（1）證明:∵該幾何體的正視圖為矩形,左視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形,∴兩兩垂直.以分別為軸建立空間直角坐標系如圖．

則．
∴，
．∴,.
又與相交于， ∴⊥平面. ………6分
（2）∵⊥平面,∴是平面的一個法向量,  
設為平面的一個法向量,則,
所以可取． 則．
∴所求二面角C－NB₁－C₁的余弦值為．  12分
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離的計算。證明過程中，往往需要將立體幾何問題轉化成平面幾何問題加以解答。本題解答，通過建立適當的空間直角坐標系，利用向量的坐標運算，簡化了繁瑣的證明過程，實現了“以算代證”，對計算能力要求較高。