Question

已知二次函數，且不等式的解集為.
（1）方程有兩個相等的實根，求的解析式；
（2）的最小值不大于，求實數的取值范圍；
（3）如何取值時，函數存在零點，并求出零點.

Answer 1

（1）；（2）實數的取值范圍是；（3）詳見解析.

試題分析：（1）根據不等式的解集為得到、為方程的實根，結合韋達定理確定、、之間的等量關系以及這一條件，然后利用有兩個相等的實根得到，從而求出、、的值，最終得到函數的解析式；（2）在的條件下，利用二次函數的最值公式求二次函數的最小值，然后利用已知條件列有關參數的不等式，進而求解實數；（3）先求出函數的解析式，對首項系數為零與不為零進行兩種情況的分類討論，在首項系數為零的前提下，直接將代入函數解析式，求處對應的零點；在首項系數不為零的前提下，求出，
對的符號進行三中情況討論，從而確定函數的零點個數，并求出相應的零點.
試題解析：（1）由于不等式的解集為，
即不等式的解集為，
故、為方程的兩根，且，
由韋達定理得，，
由于方程有兩個相等的實根，即方程有兩個相等的實根，
則，
由于，解得，，，
所以；
（2）由題意知，，，，由于，則有，
解得，由于，所以，即實數的取值范圍是；
（3）（※）
①當時，方程為，方程有唯一實根，
即函數有唯一零點；
②當時，，
方程（※）有一解，令，
得或，，即或，
（i）當時，（（負根舍去）），
函數有唯一零點；
（ii）當時，的兩根都是正數，
所以當或時，
函數有唯一零點；
（iii）當時，，，
③方程（※）有二解，
（i）若，，時，
（（負根舍去）），函數有兩個零點，
；
（ii）當時，，的兩根都是正數，
當或時，
（i）函數數有兩個零點；
（ii）當時，，恒成立，
所以大于的任意實數，函數有兩個零點
.