Question

已知二次函數(shù).
（1）若，試判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）是否存在，使同時(shí)滿足以下條件
①對(duì)任意，且；
②對(duì)任意,都有。若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由。
（3）若對(duì)任意且，，試證明存在，
使成立。

Answer 1

（1）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)。（2）當(dāng)時(shí)，同時(shí)滿足條件①、②. （3）利用零點(diǎn)存在性定理證明即可

試題分析：（1） 
當(dāng)時(shí)，
函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)； 3分
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)。        5分
（2）假設(shè)存在，由①知拋物線的對(duì)稱軸為x＝－1，
∴即    7分
由②知對(duì),都有
令得又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011925319575.png" style="vertical-align:middle;" />恒成立， 
，即，即
由得，   10分
當(dāng)時(shí)，，
其頂點(diǎn)為（－1，0）滿足條件①，又對(duì),
都有，滿足條件②.
∴存在，使同時(shí)滿足條件①、②. .12分
（3）令，則

，

在內(nèi)必有一個(gè)實(shí)根。即，
使成立   18分
點(diǎn)評(píng)：①二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式是一個(gè)有機(jī)的整體，也是高考熱點(diǎn)，要深刻理解它們相互之間的關(guān)系，能用函數(shù)思想來研究方程和不等式，便是抓住了關(guān)鍵.②二次函數(shù)的圖像形狀、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、開口方向等是處理二次函數(shù)問題的重要依據(jù).