Question

設S_n表示數列{a_n}的前n項和．
（1）若{a_n}為等差數列，推導S_n的計算公式；
（2）若a_n=2n-1，數列{b_n}滿足

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1-

1

2n

，n∈N₊，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列的通項公式和“倒序相加”即可得出；
（2）由已知

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1-

1

2n

，n∈N₊，當n=1時，

b1

a1

=

1

2

； 當n≥2時，

bn

an

=1-

1

2n

-(1-

1

2n-1

)=

1

2n

．可得bn=

2n-1

2n

，再利用“錯位相減法”即可得出．

解答：解：（1）設{a_n}的公差為d，則S_n=a₁+a₂+…+a_n=a₁+（a₁+d）+…+[a₁+（n-1）d]，
又S_n=a_n+（a_n-d）+…+[a_n-（n-1）d]，
∴2S_n=n（a₁+a_n），
∴Sn=

n(a1+an)

2

． 
（2）由已知

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1-

1

2n

，n∈N₊，
當n=1時，

b1

a1

=

1

2

； 
當n≥2時，

bn

an

=1-

1

2n

-(1-

1

2n-1

)=

1

2n

．
∴

bn

an

=

1

2n

，n∈N₊． 
∵a_n=2n-1，n∈N₊，bn=

2n-1

2n

，n∈N₊．   
又Tn=

1

2

+

3

22

+

5

22

+…+

2n-1

2n

，

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，
兩式相減得

1

2

Tn=

1

2

+(

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

)-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

，
∴Tn=3-

2n+3

2n

．

點評：本題考查了等差數列的通項公式及前n項和公式的證明、“倒序相加”、等比數列的前n項和公式、“錯位相減法”等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．