Question

【題目】如圖，邊長為的正方形和高為的等腰梯形所在的平面互相垂直，，，與交于點，點為線段上任意一點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）是否存在點使平面與平面垂直，若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）（Ⅲ）存在，且此時的值為

【解析】

（Ⅰ）證明EF∥BD，OF∥ED．推出OF∥平面ADE；

（Ⅱ）取EF中點M，連結MO，得到MO⊥BD．證明MO⊥平面ABCD，建立空間直角坐標系O﹣xyz，求出平面ADE的法向量利用空間向量的數量積求解直線BF與平面ADE所成角；

（Ⅲ）設，求出平面BCH的法向量，通過平面BCH與平面ADE垂直，則，轉化求解即可．

證明：（Ⅰ）因為正方形中，與交于點，

所以.

因為，

所以 且

所以為平行四邊形.

所以 .

又因為平面，平面，

所以平面.

解：（Ⅱ）取中點，連結，因為梯形為等腰梯形，所以.

又因為平面平面，

平面，

平面平面,

所以平面.

又因為,

所以兩兩垂直.

如圖，建立空間直角坐標系，

則

，

，，，

設平面的法向量為，

則，即，

令，則，所以.

設直線與平面所成角為，

，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

（Ⅲ）設，

則，，

設平面的法向量為，

則，即，

令，則，.

所以.

若平面與平面垂直，則.

由，得.

所以線段OF上存在點使平面與平面垂直，

的值為.