Question

已知曲線x²+y²-4x-2y-k=0表示的圖象為圓．
（1）若k=15，求過該曲線與直線x-2y+5=0的交點，且面積最小的圓的方程．
（2）若該圓關于直線x+y-4=0的對稱圓與直線6x+8y-59=0相切，求實數k的值．

Answer 1

分析：（1）先設圓心A坐標并把k代入已知方程配方后求A的坐標，由A在x-2y+5=0上時此圓的面積最小，兩個圓心的連線與直線垂直，利用斜率之積等于-1和A在直線上列出方程組求圓心的坐標，再利用弦心距、半徑和弦的一半關系求出半徑；
（2）根據兩個圓心關于直線對稱關系，求出對稱圓心的坐標，再由對稱圓與6x+8y-59=0相切，即圓心到直線的距離等于半徑求出圓的半徑r，即

16+4-4(-k) 2

=

5

2

再求出k．

解答：解：（1）設所求圓的圓心坐標為A（x₀，y₀）
當k=15時，代入x²+y²-4x-2y-k=0，化簡得（x-2）²+（y-1）²=20，
∴圓心B（2，1），到直線x-2y+5=0的距離為

|2-2+5|

1+4

=

5

，
當相交弦為所求圓的直徑時，圓的面積最小，即圓心A在直線x-2y+5=0上；
則

x°-2y°+5=0 y°-1 x°-2 =-2

，解得

x°=1 y°=3

，r=

(2 5 )2- 5 2

=

15

∴所求圓的方程為：（x-1）²+（y-3）²=15
（2）設圓心B（2，1）關于y=-x+4的對稱圓的圓心為C（x，y），
∴

y+1 2 =- x+2 2 +4 y-1 x-2 =1

，解得x=3，y=2；則 C（3，2）
∵對稱圓C與直線6x+8y-59=0相切，
∴點（3，2）到6x+8y-59=0的距離為

|6×3+8×2-59|

62+82

=

5

2

即r=

5

2

由x²+y²-4x-2y-k=0得

16+4-4(-k) 2

=

5

2

解得，k=

5

4

點評：本題考查了圓與直線的綜合問題，利用弦心距、半徑和弦的一半構成直角三角形，兩個圓關于直線對稱時有半徑相等和圓心對稱關系及相切的條件求出半徑，再求出k的值．