Question

【題目】已知焦距為2的橢圓W： （a＞b＞0）的左、右焦點分別為A1，A2，上、下頂點分別為B1，B2，點M（x0，y0）為橢圓W上不在坐標軸上的任意一點，且四條直線MA1，MA2，MB1，MB2的斜率之積為．

（1）求橢圓W的標準方程；

（2）如圖所示，點A，D是橢圓W上兩點，點A與點B關于原點對稱，AD⊥AB，點C在x軸上，且AC與x軸垂直，求證：B，C，D三點共線．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據橢圓的定義和性質，建立方程求出a，b即可．

（2）聯立直線和橢圓方程，利用消元法結合設而不求的思想進行求解即可．

試題解析：

（1）由題意可知：2c=2，c=1，a2-b2=1，

∵M（x0，y0）為橢圓W上不在坐標軸上的任意一點，

∴，=（a2-），=（b2-），

==，

==（）2=，則a2=2b2，

∴a2=2，b2=1，

∴橢圓W的標準方程；

（2）證明：不妨設點A（x1，1），D（x2，y2），B的坐標（-x1，-y1），C（x1，0），

∵A，D在橢圓上，，=0，即（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0，

∴=-，

由AD⊥AB，

∴kADkAB=-1，=-1，（-，）=-1，

∴=，

∴kBD-kBC=-=-=0，

kBD=kBC，

∴B，C，D三點共線．