Question

設函數f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a、b、c、d∈R）圖象關于原點對稱，且x=1時，f（x）取極小值-

2

3

．
（1）求a、b、c、d的值；
（2）當x∈[-1，1]時，圖象上是否存在兩點，使得過此兩點處的切線互相垂直？試證明你的結論；
（3）若x₁，x₂∈[-1，1]時，求證：|f(x1)-f(x2)|≤

4

3

．

Answer 1

分析：（1））因為函數f（x）圖象關于原點對稱，所以對任意實數x有f（-x）=-f（x），即可得出b，d；由x=1時，f（x）取極小值-

2

3

，

f′(1)=0 f(1)=- 2 3

解出即可；
（2）當x∈[-1，1]時，圖象上不存在這樣的兩點使結論成立．利用導數得出切線的斜率，再用反證法即可證明；
（3）利用導數得出函數在區間[-1，1]上的單調性，得出其最大值與最小值，即可證明．

解答：解（1）∵函數f（x）圖象關于原點對稱，∴對任意實數x有f（-x）=-f（x），
∴-ax³-2bx²-cx+4d=-ax³+2bx²-cx-4d，即bx²-2d=0恒成立，
∴b=0，d=0，∴f（x）=ax³+cx，f'（x）=3ax²+c，
∵x=1時，f（x）取極小值-

2

3

，∴

f′(1)=0 f(1)=- 2 3

即

3a+c=0 a+c=- 2 3

，
解得a=

1

3

，c=-1．
故a=

1

3

，b=d=0，c=-1．
（2）當x∈[-1，1]時，圖象上不存在這樣的兩點使結論成立．
假設圖象上存在兩點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），使得過此兩點處的切線互相垂直，
則由f'（x）=x²-1，知兩點處的切線斜率分別為k1=

x

2 1

-1，k2=

x

2 2

-1，
且(

x

2 1

-1)•(

x

2 2

-1)=-1（*）．
∵x₁、x₂∈[-1，1]，∴

x

2 1

-1≤0，

x

2 2

-1≤0，∴(

x

2 1

-1)•(

x

2 2

-1)≥0
此與（*）相矛盾，故假設不成立．
（3）證明：∵f'（x）=x²-1，令f'（x）=0，得x=±1，
∵x∈（-∞，-1），或x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0；x∈（-1，1）時，f'（x）＜0，
∴f（x）在[-1，1]上是減函數，且fmax(x)=f(-1)=

2

3

，fmin(x)=f(1)=-

2

3

∴在[-1，1]上，|f(x)|≤

2

3

，于是x1，x2∈[-1，1]時，
|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)|≤

2

3

+

2

3

=

4

3

．

點評：本題綜合考查了利用導數研究函數的單調性、極值與最值、切線的斜率及其奇偶性、反證法等基礎知識與基本技能方法，要求具有較強的推理能力與計算能力．