Question

【題目】已知函數（且，e為自然對數的底數.）

（1）當時，求函數在處的切線方程；

（2）若函數只有一個零點，求a的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）代入，得，所以，求出，由直線方程的點斜式，即可得到切線方程；

（2）分和兩種情況，考慮函數的最小值，令最小值等于0，即可得到a的值.

解：（1）當時，，

，，∴切線方程為 ;

（2），，

令，得，

1）當時，，

x
	－	0	＋
		極小值

所以當時，有最小值，.

因為函數只有一個零點，且當和時，都有，

所以，即，

因為當時，，所以此方程無解.

2）當時，，

x
	－	0	＋
		極小值

所以當時，有最小值，.

因為函數只有一個零點，且當和時，都有，

所以，即（）（*），

設（），則，

令，得，

當時，；當時，；

所以當時，，

所以方程（*）有且只有一解.

綜上，時函數只有一個零點.