Question

【題目】已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點分別為的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點.

（1）求雙曲線的方程；

（2）若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點A和B，且（其中為原點），求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）先求出橢圓的焦點坐標(biāo)和左、右頂點坐標(biāo),則由題意可得雙曲線的,進而求解即可；

（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程,利用韋達定理得到及的關(guān)系,代入可得的范圍；再由兩個不同的交點,則,求得的范圍,二者求交集即可得到結(jié)果

解：（1）由題,在橢圓中,焦點坐標(biāo)為和；左右頂點為和,

因為雙曲線的左、右焦點分別為的左、右頂點,而的左、右頂點分別是的左、右焦點,

所以在雙曲線中,設(shè)雙曲線方程為,則,所以,

所以雙曲線的方程為

（2）由（1）聯(lián)立,消去,得①；

消去,得②

設(shè),則為方程①的兩根,為方程②的兩根；

，

,

得或③,

又因為方程①中,,得④,

③④聯(lián)立得的取值范圍