Question

（本題滿分14分）

已知橢圓過點，且離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）為橢圓的左右頂點，點是橢圓上異于的動點，直線分別交直線于兩點.  

證明：以線段為直徑的圓恒過軸上的定點.

 

Answer 1

【答案】

（1）； （2）

【解析】

試題分析：（1）由題意可知，， …………1分  而，……………2分

且.  …………3分       解得，……………4分

所以，橢圓的方程為.    ……………5分

（2）由題可得.設，   ……………6分

直線的方程為，    ……………7分

令，則，即； ……………8分

直線的方程為，   ……………9分

令，則，即； ……………10分

證法1：設點在以線段為直徑的圓上，則，

即，         …………11分

，而，即，，或.                               ……………13分

故以線段為直徑的圓必過軸上的定點

、.                                  ……………14分

證法2：以線段為直徑的圓為

即          ………11分

令，得，    ……………12分

而，即，，或 

……………13分

故以線段為直徑的圓必過軸上的定點

、.                          ……………14分

證法3：令，則，令，得，同理得.

∴以為直徑的圓為，令解得 

∴圓過                          ……………11分

由前，對任意點,可得,  

∴∴在以為直徑的圓上.

同理，可知也在為直徑的圓上.                   ……………13分

∴故以線段為直徑的圓必過軸上的定點

、.                  …………………14分

考點：橢圓的標準方程；橢圓的簡單性質；直線與橢圓的綜合應用；直線方程的點斜式。

點評：此題的第二問給出了三種方法來解答，我們要熟練掌握每一種方法。這是作圓錐曲線有關問題的基礎。屬于中檔題。