Question

【題目】已知正項數列的前項和為，數列滿足．

（1）求數列的通項公式；

（2）數列滿足，它的前項和為，

（�。┣�；

（ⅱ）若存在正整數，使不等式成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）（ⅰ）；（ii）或．

【解析】

（1）根據已知，當時，求出，當是，利用，得到數列的遞推關系，進而證明數列是等差數列，即可求出結論；

（2）（ⅰ）由數列通項公式的特征，用錯位相減法求出；

（ⅱ）對分為奇數、偶數討論，分離參數轉化為存在正整數，使得或，求出最值，即可得出結論.

（1），

當時，，∴或（舍去）

當時，由，得，

兩式相減得：，∴，

即，∴．

又∵數列為正項數列，故，也即，

∴數列是以1為首項，1為公差的等差數列，

∴，．

（2）（�。�，則

①，

②，

可得：，

故．

（ⅱ）即不等式成立，

若為偶數，則，所以，

設，則在單調遞減，

故當時，，所以；

若為奇數，則，所以

設，則在單調遞增，

故當時，，所以，

綜上所述，的取值范圍或．