Question

【題目】如圖，已知三棱柱的所有棱長均為2，．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若平面平面，為的中點，求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據等邊三角形可知，，可得平面，進而可求平面，即可求證；（Ⅱ）以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，利用線面角的向量公式計算即可.

證明：（Ⅰ）取中點，連接，，．如圖，

∵三棱柱的所有棱長均為2，，

∴和是邊長為2的等邊三角形，且．

∴，．

∵，平面，，

∴平面．

∵平面，∴．

∵，平面，，

∴平面，

∴．

（Ⅱ）∵平面平面，且交線為，

由（Ⅰ）知，

∴平面．

則，，兩兩垂直，則以為原點，為軸，為軸，為軸，

建立空間直角坐標系．

則，，，，，

∵為的中點，∴，

∴，，，

設平面的法向量為，

則，取，得．

設與平面所成的角為，則．

∴與平面所成角的正弦為．