Question

為了解某校學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽的成績(jī)分布，從該校參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的學(xué)生成績(jī)中抽取一個(gè)樣本，并分成5組，繪成頻率分布直方圖如圖，從左到右各小組的小長(zhǎng)方形的高之比為1：2：2：20：5，最右邊一組的頻數(shù)是20，請(qǐng)結(jié)合直方圖的信息，解答下列問(wèn)題；
（Ⅰ）樣本容量是多少？
（Ⅱ）現(xiàn)用分層抽樣的方法在該樣本中抽取30個(gè)學(xué)生的成績(jī)作進(jìn)一步調(diào)查，問(wèn)成績(jī)?cè)?20分到150分的學(xué)生有幾個(gè)？
（Ⅲ）已知成績(jī)?cè)?20分到150分的學(xué)生中，至少有5個(gè)是男生，求成績(jī)?cè)?20分到150分的學(xué)生中，男生比女生多的概率．

Answer 1

分析：（I）利用頻率分布直方圖中，小矩形的高之比=面積之比=頻率之比，而

頻數(shù)

樣本容量

=頻率，代入數(shù)據(jù)計(jì)算可求；
（II）根據(jù)頻率之比，可求成績(jī)?cè)?20分到150分的學(xué)生數(shù)，算出分層抽樣的抽取比例，乘以抽取人數(shù)，可得應(yīng)從成績(jī)?cè)?20分到150分的學(xué)生中抽取的人數(shù)；
（III）用列舉法求出基本事件數(shù)和男生比女生多的基本事件數(shù)，代入古典概型概率公式計(jì)算．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)樣本容量為n，由題意得

n

1+2+2+20+5

=

20

5

，所以n=120
所以樣本的容量為120；
（Ⅱ）由小長(zhǎng)方形的高之比為1：2：2：20：5，得小長(zhǎng)方體的面積之比（頻率之比）為1：2：2：20：5，
∴成績(jī)?cè)?20分到150分的學(xué)生有

20

30

×120=80，則分層抽樣抽取的比例

80

120

，
∴抽取30個(gè)學(xué)生應(yīng)從成績(jī)?cè)?20分到150分的學(xué)生中抽取

80

120

×30=20人；
（Ⅲ）設(shè)成績(jī)?cè)?20分到150分的學(xué)生中，男生比女生多的事件記為A，男生數(shù)與女生數(shù)記為數(shù)對(duì)（x，y），
則基本事件有：（5，15），（6，14），（7，13），（8，12），（9，11），（10，10），（11，9），
（12，8），（13，7），（14，6），（15，5），（16，4），（17，3），（18，2），（19，1），（20，0）共16對(duì)，
而事件A包含的事件有：（11，9），（12，8），（13，7），（14，6），（15，5），
（16，4），（17，3），（18，2），（19，1），（20，0）共10對(duì)．
∴P(A)=

10

16

=

5

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分層抽樣方法，頻率分布直方圖，考查了古典概型的概率計(jì)算，列舉法求基本事件個(gè)數(shù)是求古典概型概率的基本方法．