Question

如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．
（Ⅰ）求證：AB⊥DE；
（Ⅱ）求直線EC與平面ABE所成角的正弦值；
（Ⅲ）線段EA上是否存在點F，使EC∥平面FBD？若存在，求出

EF

EA

；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明：取AB中點O，連接EO，DO．
因為EB=EA，所以EO⊥AB．…（1分）
因為四邊形ABCD為直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，
所以四邊形OBCD為正方形，所以AB⊥OD．…（2分）
因為EO∩OD=O
所以AB⊥平面EOD．…（3分）
因為ED?平面EOD
所以AB⊥ED．…（4分）
（Ⅱ）因為平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，平面ABE∩平面ABCD=AB
所以EO⊥平面ABCD，
因為OD?平面ABCD，所以EO⊥OD．
由OB，OD，OE兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz．…（5分）
因為△EAB為等腰直角三角形，所以OA=OB=OD=OE，設OB=1，所以O（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）．
所以

EC

=(1，1，-1)，平面ABE的一個法向量為

OD

=(0，1，0)．…（7分）
設直線EC與平面ABE所成的角為θ，
所以sinθ=|cos?

EC

，

OD

＞|=

| EC • OD |

| EC || OD |

=

3

3

，
即直線EC與平面ABE所成角的正弦值為

3

3

．…（9分）
（Ⅲ）存在點F，且

EF

EA

=

1

3

時，有EC∥平面FBD．…（10分）
證明如下：由

EF

=

1

3

EA

=(-

1

3

，0，-

1

3

)，F(-

1

3

，0，

2

3

)，所以

FB

=(

4

3

，0，-

2

3

)．
設平面FBD的法向量為

v

=（a，b，c），則有

v • BD =0 v • FB =0

所以

-a+b=0 4 3 a- 2 3 z=0.

取a=1，得

v

=（1，1，2）．…（12分）
因為

EC

•

v

=（1，1，-1）•（1，1，2）=0，且EC?平面FBD，所以EC∥平面FBD．
即點F滿足

EF

EA

=

1

3

時，有EC∥平面FBD．…（14分）