Question

【題目】已知離心率為的橢圓，經過拋物線的焦點，斜率為1的直線經過且與橢圓交于兩點．

（1）求面積；

（2）動直線與橢圓有且僅有一個交點，且與直線，分別交于兩點，且為橢圓的右焦點，證明為定值．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）由得出（0,1），結合橢圓離心率，解得，即可得出橢圓標準方程，從而得出直線方，聯立求出交點和的坐標，利用兩點間的距離公式求出和點到直線的距離求出，即可得出的面積.

（2）設直線方程為，聯立直線和橢圓方程，得，根據，求得，從而求得坐標，利用兩點間的距離求出和，即可求得，

解：（1）由題意可知：拋物線的焦點坐標為：（0,1），

，解得，

橢圓方程為，

直線的方程為，

聯立，整理得，

解得，，

則（0,1），，

,

原點到直線的距離，

.

所以面積為.

（2）由題可知，直線斜率存在，設直線方程為，

聯立，整理得，

直線與橢圓有且僅有一個交點，

，

整理得，

由題可得，，，

=.

所以為定值.