Question

【題目】已知函數.

（1）討論的導數的單調性；

（2）若有兩個極值點，，求實數的取值范圍，并證明.

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞減，在上單調遞增；

（2）見解析.

【解析】

（1）求出，令，對，討論來求的單調性；

（2）將有兩個極值點，轉化為有兩解，繼續轉化為有兩解，構造函數，求導為其極小值，可得，即可求得實數的取值范圍；另外要證明，不妨設，則，由（1）根據的單調性得，通過變形，轉化為證明，進一步變形證明，構造函數，利用導數研究其最小值即可證明．

（1）由題意，得.

設，則.

①當時，，所以在上單調遞增.

②當時，由，得.

當時，，在上單調遞減；

當時，，在上單調遞增.

（2）由于有兩個極值點，，即在上有兩解，，

即，顯然，故等價于有兩解，，

設，則，

當時，，所以在單調遞減，

且，時，，時，；

當時，，所以在單調遞減，且時，；

當時，，所以在單調遞增，且時，，

所以是的極小值，有兩解，等價于，得.

不妨設，則.

據（1）在上單調遞減，在上單調遞增，

故，

由于，，且，則，

所以，，

即，，

欲證明：，等價于證明：，

即證明：，只要證明：，

因為在上單調遞減，，

所以只要證明：，

由于，所以只要證明：，

即證明：，

設，據（1），

，

所以在上單調遞增，

所以，

即，

故.