Question

過(guò)拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)作一條直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A，B兩點(diǎn)，它們到直線(xiàn)x=-2的距離之和等于6，則這樣的直線(xiàn)（　　）

A．有且僅有一條

B．有且僅有兩條

C．有無(wú)窮多條

D．不存在

Answer 1

分析：利用分類(lèi)討論、拋物線(xiàn)的通徑及其定義即可得出．

解答：解：由拋物線(xiàn)y²=4x得焦點(diǎn)F（1，0）．當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，把x=1代入拋物線(xiàn)方程可得y²=4，解得y=±2．
∴|AB|=4，∴點(diǎn)A（1，2），B（1，-2）到直線(xiàn)x=-1的距離之和=4，因此點(diǎn)A（1，2），B（1，-2）到直線(xiàn)x=-2的距離之和=6．
當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，|AB|＞4，因此點(diǎn)A（1，2），B（1，-2）到直線(xiàn)x=-2的距離之和＞6．
故滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)AB有且只有一條，及AB⊥x軸．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握分類(lèi)討論、拋物線(xiàn)的通徑及其定義等是解題的關(guān)鍵．