【題目】如圖，在正三棱柱 ABC A1 B1C1 中， AB 3 ， AA1 4 ， M 為 AA1 的中點， P 是 BC 上一點，且由 P 沿棱柱側面經過棱 CC1 到 M 點的最短路線長為
，設這條最短路線與 CC1 的交點為 N 。求：
（1）該三棱柱的側面展開圖的對角線長；
（2） PC 和 NC 的長；
（3）平面 NMP 和平面 ABC 所成銳二面角大小的正切值.
【答案】（1）
；（2） PC 2 ， NC 
；（3）
【解析】
（1）由展開圖為矩形，用勾股定理求對角線長．
（2）在側面展開圖中三角形MAP1是直角三角形，可以求出線段AP的長度，進而可以求出PC的長度，再由相似比可以求得CN的長度．
（3）補形，找出兩面的交線，在特殊的位置作出線面角，如圖2．二面角易求．
解：（1）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的側面展開圖是一個長為9，寬為4的矩形，其對角線長為
（2）如圖1，將側面BB1C1C繞棱CC1旋轉120°使其與側面AA1C1C在同一平面上，點P運動到點P1的位置，連接MP1，則MP1就是由點P沿棱柱側面經過棱CC1到點M的最短路線
圖1
設PC＝x，則P1C＝x，在Rt△MAP1中，由勾股定理得（3+x）2+22＝29
求得x＝2
∴PC＝P1C＝2
∵
∴
（3）如圖2，連接PP1，則PP1就是平面NMP與平面ABC的交線，作NH⊥PP1于H，又CC1⊥平面ABC，連接CH，由三垂線定理得，CH⊥PP1
圖2
∴∠NHC就是平面NMP與平面ABC所成二面角的平面角（銳角）
在Rt△PHC中，∵
，∴
在Rt△NCH中，
故平面 NMP 和平面 ABC 所成銳二面角大小的正切值為
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【題目】如圖，在三棱錐
中，底面是邊長為4的正三角形，
，
底面
，點
分別為
，
的中點.
（1）求證：平面
平面
；
（2）在線段
上是否存在點
，使得直線
與平面
所成的角的正弦值為
？若存在，確定點
的位置；若不存在，請說明理由.
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【題目】已知函數f（x）＝sin（ωx+φ）+
（ω≥0，|φ|＜π）的圖象與直線y＝c（＜c＜
）的三個相鄰交點的橫坐標為2，6，18，若a＝f（lg），b＝f（lg2），則以下關系式正確的是（ ）
A. a+b＝0B. a﹣b＝0C. a+b＝1D. a﹣b＝1
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【題目】已知a、b、c為
的三邊長，直線
的方程為
，圓
．
（1）若為直角三角形，c為斜邊長，且直線與圓M相切．求c的值；
（2）已知
為坐標原點，點
，
，
，
，平行于ON的直線h與圓M相交于R，
兩點，且
，求直線h的方程：
（3）若為正三角形，對于直線上任意一點P，在圓
上總存在一點
，使得線段
的長度為整數，求c的取值范圍；
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【題目】如圖已知四棱錐 P ABCD 的底面是邊長為 6 的正方形，側棱 PA 的長為 8，且垂直于底面，點 M . N 分別是 DC .AB 的中點。
求：（1）異面直線 PM 與 CN 所成角的正切值；
（2）四棱錐 P ABCD 的表面積.
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【題目】如果有窮數列
、
、
、
、
（
為正整數）滿足條件
、
、
，即
，我們稱其為“對稱數列”.例如，數列
、
、
、、與數列
、
、、、、都是“對稱數列”.
（1）設
是
項的“對稱數列”，其中
、
、
、
是等差數列，且
，
，依次寫出
的每一項；
（2）設
是
項的“對稱數列”，其中
、
、、
是首項為，公比為的等比數列，求各項的和
；
（3）設
是
項的“對稱數列”，其中
、
、、
是首項為，公差為
的等差數列，求前
項的和
.
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【題目】嫦娥四號月球探測器于2018年12月8日搭載長征三號乙運載火箭在西昌衛星發射中心發射.12日下午4點43分左右，嫦娥四號順利進入了以月球球心為一個焦點的橢圓形軌道，如圖中軌道③所示，其近月點與月球表面距離為
公里，遠月點與月球表面距離為
公里.已知月球的直徑為
公里，則該橢圓形軌道的離心率約為
A. 
B. 
C. 
D. 
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