Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a1=

4

3

，an+1=3Sn，n∈N^*，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n+1，求數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n；
（3）令cn=

1

Tn

，數(shù)列{c_n}的前n項和為U_n，試求最小的集合[a，b），使U_n∈[a，b）．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=3S_n①，得a_n=S_n-1（n≥2）②，兩式相減可得遞推式，由遞推式可判斷數(shù)列{a_n}從第二項起構(gòu)成等比數(shù)列，從而可求得a_n；
（2）由（1）得b_n，根據(jù)由b_n可判斷數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，利用求和公式可求T_n；
（3）由（2）可求得c_n，利用裂項相消法可求得U_n，根據(jù)U_n的單調(diào)性可求得U_n的范圍，由其范圍可得最小的[a，b）；

解答：解：（1）由a_n+1=3S_n①，得a_n=S_n-1（n≥2）②，
①-②得，a_n+1-a_n=3a_n，即a_n+1=4a_n（n≥2），
又a₂=3S₁=3×

4

3

=4，4a₁=

16

3

，
∴數(shù)列{a_n}從第二項起構(gòu)成等比數(shù)列，公比為4，
∴an=a2•4n-2=4•4n-2=4^n-1（n≥2），
∴an=

4 3 ，n=1 4n-1，n≥2

；
（2）由（1）得，b_n=log₂a_n+1=log24n+1-1=2n，
∴T_n=2+4+6+…+2n=

n(2+2n)

2

=n（n+1）；
（3）由（2）知，cn=

1

Tn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴U_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

，
易知1-

1

n+1

單調(diào)遞增，
∴1-

1

2

≤1-

1

n+1

＜1，即

1

2

≤U_n＜1，
∴最小的集合[a，b）=[

1

2

，1），使U_n∈[a，b）．

點評：本題考查利用數(shù)列遞推式求數(shù)列通項、對數(shù)列求和，裂相消法對數(shù)列求和是高考考查的重點內(nèi)容，應(yīng)熟練掌握．