Question

已知圓的圓心與點關(guān)于直線對稱，圓與直線相切.
（1）設(shè)為圓上的一個動點，若點，，求的最小值；
（2）過點作兩條相異直線分別與圓相交于，且直線和直線的傾斜角互補，為坐標(biāo)原點，試判斷直線和是否平行？請說明理由.

Answer 1

（1）-4；（2）直線和一定平行.

解析試題分析：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、向量的點乘、平面內(nèi)兩點間距離公式、點到直線的距離等基礎(chǔ)知識.考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，利用兩個點關(guān)于直線對稱，列出方程組，解出，即得到圓心坐標(biāo)，再利用點到直線的距離求半徑，寫出圓的方程，利用向量的點乘列出式子，數(shù)形結(jié)合找出最小值；第二問，利用直線與圓的位置關(guān)系列出方程，得出兩點的橫坐標(biāo)，利用斜率公式寫出式子，判斷兩個斜率是否相等.
試題解析：（Ⅰ）設(shè)圓心，則中點坐標(biāo)為，            1分
∵圓心與點關(guān)于直線對稱，
∴，解得，                 3分
∴圓心到直線的距離，           4分
∴求圓的方程為．                                 5分
設(shè)，則，
∴，            6分
作直線：，向下平移此直線，當(dāng)與圓相切時取得最小值，這時切點坐標(biāo)為，
所以·的最小值為－4．                                8分
（Ⅱ）由題意知，直線和直線的斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設(shè)：，
：，由，得．
因為點的橫坐標(biāo)一定是該方程的解，故可得，同理，，
則．
所以，直線和一定平行．                                 14分
考點：1.中點坐標(biāo)公式；2.點到直線的距離；3.向量的點乘；4.斜率的公式；5.直線與圓的位置關(guān)系.