Question

已知正四面體A-BCD，動點P在△ABC內，且點P到平面BCD的距離與點P到點A的距離相等，則動點P的軌跡為（　　）

A．橢圓的一部分

B．雙曲線的一部分

C．拋物線的一部分

D．一條線段

Answer 1

分析：將點P到平面ABC距離與到點A的距離相等轉化成在面ABC中點P到A的距離與到定直線BC的距離比是一個常數，依據圓錐曲線的第二定義判斷出其軌跡的形狀．

解答：解：設二面角A-BC-D的平面角為θ，點P到平面BCD的距離為|PH|，點P到定直線CB的距離為d，則|PH|=dsinθ
∵點P到平面BCD的距離與點P到點A的距離相等
∴dsinθ=|PA|
∴

|PA|

d

=sinθ＜1
即在平面ABC中，點P到定點A的距離與定直線BC的距離之比是一個小于1的常數sinθ，
由橢圓定義知P點軌跡為橢圓在面ABC內的一部分．
故選A．

點評：本題主要考查立體幾何中的軌跡問題，解題的關鍵是將點P到平面ABC距離與到點A的距離相等轉化成在面ABC中點P到A的距離與到定直線BC的距離比是一個常數．