Question

（本小題滿分13分）
(1)3人坐在有八個座位的一排上，若每人的左右兩邊都要有空位，則不同坐法的種數為幾種？
(2)有5個人并排站成一排，如果甲必須在乙的右邊，則不同的排法有多少種？
(3)現有10個保送上大學的名額，分配給7所學校，每校至少有1個名額，問名額分配的方法共有多少種？

Answer 1

解：(1)由題意知有5個座位都是空的，我們把3個人看成是坐在座位上的人，往5個空座的空檔插，由于這5個空座位之間共有4個空，3個人去插，共有A₄³＝24(種)．
(2)∵總的排法數為A₅⁵＝120(種)，
∴甲在乙的右邊的排法數為A₅⁵＝60(種)．
(3)法一：每個學校至少一個名額，則分去7個，剩余3個名額分到7所學校的方法種數就是要求的分配方法種數．
分類：若3個名額分到一所學校有7種方法；
若分配到2所學校有C₇²×2＝42(種)；
若分配到3所學校有C₇³＝35(種)．
∴共有7＋42＋35＝84(種)方法．
法二：10個元素之間有9個間隔，要求分成7份，相當于用6塊檔板插在9個間隔中，共有C₉⁶＝84種不同方法．
所以名額分配的方法共有84種．

略