Question

如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．將菱形ABCD沿對角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，點M是棱BC的中點，DM=3

2

．

（1）求證：OM∥平面ABD；
（2）求證：平面ABC⊥平面MDO；
（3）求三棱錐D-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）利用菱形ABCD的特點，證明OM

∥

.

1

2

AB，然后利用直線與平面平行的判定定理證明OM∥平面ABD；
（2）先證明OD⊥OM．OD⊥AC．OM∩AC=O，證明OD⊥平面ABC，然后證明平面ABC⊥平面MDO．
（3）判斷OD為三棱錐D-ABC的高，求出S_△ABC，然后求解三棱錐的體積．

解答：解：（1）證明：因為點O是菱形ABCD的對角線的交點，
所以O是AC的中點，又M是棱BC的中點，
所以OM是△ABC的中位線，OM

∥

.

1

2

AB，
因為OM?平面ABD，AB?平面ABD，
所以OM∥平面ABD；
（2）證明：由題意，OM=OD=3，
因為DM=3

2

，所以∠DOM=90°，OD⊥OM．
又因為菱形ABCD，所以OD⊥AC．
因為OM∩AC=O，
所以OD⊥平面ABC，
因為OD?平面MDO，
所以平面ABC⊥平面MDO．
（3）解：由（Ⅱ）知，OD⊥平面ABC，
所以OD=3為三棱錐D-ABC的高，
因為菱形ABCD的邊長為6，∠BAD=60°，
所以S_△ABC=

3

4

×62=9

3

，
所以所求三棱錐的體積為V，V=

1

3

×9

3

×3=9

3

．
即三棱錐D-ABC的體積9

3

．

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，棱柱、棱錐、棱臺的體積，直線與平面平行的判定，考查基本知識的靈活運用，邏輯推理能力與計算能力．