Question

如圖，菱形ABCD的邊長為1，有∠D=120°，點E、F分別是AD、DC的中點，BE、BF分別與AC交于點M、N．
（1）求AC的值．
（2）求MN的值．

Answer 1

分析：（1）利用菱形的對角線垂直及對角線平分頂角，再解直角三角形求出邊AC
（2）利用三點共線則向量共線，據向量共線的充要條件設出

AM

，

AC

共線的條件及

EM

，

EB

共線的條件，
兩等式聯立求出點M所在的位置，同理得到點N的位置，求出|MN|的長．

解答：解：（1）連接BD交AC于點O，由∠ADC=120°，得∠ADO=60°，
而∠AOD=90°，AD=1，得OD=

1

2

，OA=

3

2

，∴AC=

3

；
（2）設

AB

=a，

AD

=b，則

AM

=λ

AC

=λ(a+b)，而B、M、E三點共線，
∴

EM

=u

MB

，即

AM

-

AE

=u(

AB

-

AM

)，∴(1+u)

AM

=u

AB

+

AE

，
即(1+u)λ(a+b)=ua+

1

2

b，有

(1+u)λ=u (1+u)λ= 1 2

，解得u=

1

2

，λ=

1

3

，
∴

AM

=

1

3

AC

，即|

AM

|=

1

3

|

AC

|，同理|

CN

|=

1

3

|

AC

|，得|

MN

|=

1

3

|

AC

|
由（1）得|

AC

|=

3

，∴|

MN

|=

1

3

|

AC

|=

3

3

．
即MN=

3

3

．

點評：本題考查菱形的對角線的性質、向量共線的充要條件、向量的運算律及運算法則．