Question

【題目】已知四棱錐的底面為直角梯形，，底面，且，是的中點．

（1）證明：面面；

（2）求直線與所成角的余弦值；

（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據面面垂直的判定定理，要證明面面垂直，先證明線面垂直，根據垂直關系，可證明平面；（2）幾何法求異面直線所成的角，通過平移直線，將異面直線轉化為相交直線所成的角，取中點，中點，連結，則，長至點，使得，連結，則，所以或其補角為直線與所成的角，在三角形內，根據余弦定理求角；（3）因為H和全等，過點作，連結，所以，故為二面角的平面角，同樣根據余弦定理求解；或是根據向量法求后兩問．

試題解析：（1）因為且，所以

因為面，所以，

而，所以面，又面，所以面面

方法一：（2）取中點，中點，連結，則，且。延長至點，使得，連結，則，且，所以或其補角為直線與所成的角。易得，，，所以，故所求直線與所成角的余弦值為

（3）過點作，連結，因為，，是和公共邊，所以，故為二面角的平面角，易得，而，所以，所以所以所求的二面角的余弦值為。

方法二：（2）以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，，,,, 則，于是，，故，故所求直線與所成角的余弦值為

（3）由（2）知，，，

設面的一個法向量為，由且，得，則，取，則，故

設面的一個法向量為，由且，得，則，取，則，故

所以

由圖可知，此二面角為鈍二面角，所以所求的二面角的余弦值為