Question

甲、乙兩機床加工同一種零件，抽檢得到它們加工后的零件尺寸x（單位：cm）及個數y如下表．

		1.01	1.02	1.03	1.04	1.05
零件尺寸x	甲	3	7	8	9	3
零件個數y	乙	7	4	4	4	a

由表中數據得y關于x的線性回歸方程為y=-91+100x（1.01≤x≤1.05），其中合格零件尺寸為1.03±0.01（cm）．
（1）是否有99%的把握認為加工零件的質量與甲、乙有關？
（2）從甲、乙加工后尺寸大于1.03cm的零件中各取1個，求恰好取到2個都是不合格零件的概率．

Answer 1

分析：（1）根據所給的公式，代入數據求出臨界值，把求得的結果同臨界值表進行比較，看出有多大的把握認為加工零件的質量與甲、乙有關．
（2）尺寸大于1.03cm的零件中，甲有合格零件9個、不合格零件3個，乙有合格零件4個、不合格零件11個女．利用乘法原是得出可能的結果組成的基本事件個數，及滿足條件事件數，求出概率．

解答：解：（1）根據題意得，

.

x

=1.03，

.

y

=

a+49

5

，（1分）
由y=-91+100x知，

a+49

5

=-91+100×1.03，所以，a=11，（2分）
由于合格零件尺寸為1.03±0.01，故甲、乙加工的合格與不合格零件的數據表為：

	合格零件數	不合格零件數	合計
甲	24	6	30
乙	12	18	30
合計	36	24	60

（3分）
所以，K²=

60(24×18-6×12)2

30×30×36×24

=10．（5分）
因K²=10＞6.635，故有99%的把握認為加工的不合格零件與甲、乙有關聯． （6分）
（2）尺寸大于1.03cm的零件中，甲有合格零件9個、不合格零件3個，乙有合格零件4個、不合格零件11個．（7分）
設甲加工的合格零件為A₁，A₂，…，A₉，甲加工的不合格零件為A₁₉，A₁₁，A₁₂，乙加工的合格零件為B₁，B₂，B₃，B₄，乙加工的不合格零件為B₅，B₆，…，B₁₅．
因此，“從甲、乙中各取1個”的所有基本事件共12×15=180種情況．（9分）
其中，“取到的2個都是不合格零件”的基本事件共3×11=33種情況．（11分）
故所求概率為

33

180

=

11

60

．（12分）

點評：本題是一個統計綜合題，包含獨立性檢驗和概率，本題通過創設情境激發學生學習數學的情感，幫助培養其嚴謹治學的態度．