Question

【題目】設數(shù)列{an}的前n項和為Sn ， 已知2Sn=3n+3．
（1）求{an}的通項公式；
（2）若數(shù)列{bn}，滿足anbn=log3an ， 求{bn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為2Sn=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，

當n＞1時，2Sn﹣1=3n﹣1+3，

此時，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即an=3n﹣1，

所以an= ．

（2）解：因為anbn=log3an，所以b1= ，

當n＞1時，bn=31﹣nlog33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，

所以T1=b1= ；

當n＞1時，Tn=b1+b2+…+bn= +（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），

所以3Tn=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），

兩式相減得：2Tn= +（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）= + ﹣（n﹣1）×31﹣n= ﹣ ，

所以Tn= ﹣ ，經檢驗，n=1時也適合，

綜上可得Tn= ﹣

【解析】（1）利用2Sn=3n+3，可求得a1=3；當n＞1時，2Sn﹣1=3n﹣1+3，兩式相減2an=2Sn﹣2Sn﹣1 ， 可求得an=3n﹣1 ， 從而可得{an}的通項公式；（2）依題意，anbn=log3an ， 可得b1= ，當n＞1時，bn=31﹣nlog33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n ， 于是可求得T1=b1= ；當n＞1時，Tn=b1+b2+…+bn= +（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用錯位相減法可求得{bn}的前n項和Tn ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數(shù)列的前n項和的相關知識，掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系．