Question

某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上,在小艇出發時,輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設該小艇沿直線方向以v海里/時的航行速度勻速行駛,經過t小時與輪船相遇.
(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應為多少?
(2)為保證小艇在30分鐘內(含30分鐘)能與輪船相遇,試確定小艇航行速度的最小值;
(3)是否存在v,使得小艇以v海里/時的航行速度行駛,總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇?若存在,試確定v的取值范圍;若不存在,請說明理由.

Answer 1

(1) 小艇以30海里/時的速度航行,相遇時小艇的航行距離最小
(2) 10海里/時    (3)存在，v的取值范圍是(15,30)

解:(1)法一　設相遇時小艇的航行距離為s海里,則
s=
=
=.
故當t=時,s_min=10,v==30.
即小艇以30海里/時的速度航行,相遇時小艇的航行距離最小.
法二　若相遇時小艇的航行距離最小,又輪船沿正東方向勻速行駛,則小艇航行方向為正北方向.
如圖所示,設小艇與輪船在C處相遇.

在Rt△OAC中,OC="20cos" 30°=10,
AC="20sin" 30°=10.
又AC=30t,OC=vt,
此時,輪船航行時間t==,v==30.
即小艇以30海里/時的速度航行,相遇時小艇的航行距離最小.
(2)如圖所示,設小艇與輪船在B處相遇.

由題意可得
(vt)²=20²+(30t)²-2×20×30t×cos(90°-30°),
化簡得v²=-+900
=400(-)²+675.
由于0<t≤,即≥2,
所以當=2時,v取得最小值10,
即小艇航行速度的最小值為10海里/時.
(3)由(2)知v²=-+900,
設=u(u>0),于是400u²-600u+900-v²=0.(*)
小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇,等價于方程(*)應有兩個不等正根,即

解得15<v<30.
所以v的取值范圍是(15,30).