Question

【題目】已知橢圓的右頂點為，為上頂點，點為橢圓上一動點．

（1）若，求直線與軸的交點坐標；

（2）設為橢圓的右焦點，過點與軸垂直的直線為，的中點為，過點作直線的垂線，垂足為，求證：直線與直線的交點在橢圓上．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）直接求出直線方程，與橢圓方程聯立求出點坐標，從而可得直線方程，得其與軸交點坐標；

（2）設，則，求出直線和的方程，從而求得兩直線的交點坐標，證明此交點在橢圓上，即此點坐標適合橢圓方程．代入驗證即可．注意分和說明．

解：本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合，

（1）由題知，，則．因為，所以，

則直線的方程為，聯立，可得

故．則，直線的方程為．令，

得，故直線與軸的交點坐標為．

（2）證明：因為，，所以．設點，則．

設

當時，設，則，此時直線與軸垂直，

其直線方程為，

直線的方程為，即．

在方程中，令，得，得交點為，顯然在橢圓上．

同理當時，交點也在橢圓上．

當時，可設直線的方程為，即．

直線的方程為，聯立方程，

消去得，化簡并解得．

將代入中，化簡得．

所以兩直線的交點為．

因為

，

又因為，所以，

則，

所以點在橢圓上．

綜上所述，直線與直線的交點在橢圓上．