Question

【題目】數列{an}的前n項和記為Sn且滿足Sn=2an﹣1，n∈N*；
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設Tn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n+1anan+1 ， 求{Tn}的通項公式；
（3）設有m項的數列{bn}是連續的正整數數列，并且滿足：lg2+lg（1+ ）+lg（1+ ）+…+lg（1+ ）=lg（log2am）．
問數列{bn}最多有幾項？并求出這些項的和．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn=2an﹣1，n∈N*；∴n=1時，a1=S1=2a1﹣1，解得a1=1；

n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣1﹣（2an﹣1﹣1），

化為an=2an﹣1，∴數列{an}是等比數列，公比為2，首項為1．∴an=2n﹣1

（2）解：anan+1=2n﹣12n= ．

∴Tn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n+1anan+1

= +…+（﹣1）n+1×4n]

= = [1﹣（﹣4）n]

（3）解：由lg2+lg（1+ ）+lg（1+ ）+…+lg（1+ ）=lg（log2am）．

∴ × ×…× =log2am=m﹣1．

又數列{bn}是連續的正整數數列，∴bn=bn﹣1+1．

∴ =m﹣1，又bm=b1+（m﹣1），

∴mb1﹣3b1﹣2m=0，

∴m= =3+ ，由m∈N*，

∴b1＞2，∴b1=3時，m的最大值為9．

∴這些項的和=3+4+…+11=63

【解析】（1）Sn=2an﹣1，n∈N*；n=1時，a1=S1=2a1﹣1，解得a1；n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 化為an=2an﹣1 ， 利用等比數列的通項公式即可得出．（2）anan+1=2n﹣12n= ．利用等比數列的求和公式即可得出．（3）由lg2+lg（1+ ）+lg（1+ ）+…+lg（1+ ）=lg（log2am）．可得 × ×…× =log2am=m﹣1．又數列{bn}是連續的正整數數列，bn=bn﹣1+1．化簡進而得出．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．