Question

已知函數f（x）=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx+d（a，b，c，d為常數且a≠0），g（x）=f′（x）（f′（x）為f（x）的導數）．
（Ⅰ）若g（x）滿足：①g′（0）＞0；②對于任意實數x，都有g（x）≥0．求

g(1)

g′(0)

的最小值；
（Ⅱ）若a=1且對任意實數x∈（-∞，0）時有f′（x）＞0；對于任意實數x∈（0，4）有f′（x）＜0，求b的實數范圍；
（Ⅲ）若a＞0，-4a＜b＜4a，b²-4ac＞0，-（4a+c）＜2b＜4a+c，求證：函數g（x）的零點在區間（-2，2）內．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函數的導數，根據條件求

g(1)

g′(0)

的最小值；
（Ⅱ）當a=1時，根據條件x∈（-∞，0）時有f′（x）＞0和x∈（0，4）有f′（x）＜0，解不等式即可求b的實數范圍；
（Ⅲ）根據根的存在性定義，將條件轉化為二次函數，利用二次函數的圖象和性質進行證明．

解答：解：（Ⅰ）g（x）=f'（x）=ax²+bx+c，g'（x）=2ax+b
由題意有a＞0，b＞0且b²-4ac≤0，從而有c＞0且ac≥

b2

4

，
∴

g(1)

g′(0)

=

a+b+c

b

=

a+c

b

+1≥

2 ac

b

+1≥2（當且僅當b=2a=2c時等號成立）
∴

g(1)

g′(0)

的最小值為2；
（Ⅱ）a=1，f'（x）=x²+bx+c
由題意f（x）在（-∞，0）內為增函數，在（0，4）內為減函數，
∴x=0為f（x）的極值點，f'（0）=c=0．
∵f'（x）=x（x+b），
由f'（x）=0，得x₁=0，x₂=-b．
若-b＜0，即b＞0．f（x）在（-∞，-b）內為增函數，在（-b，0）上為減函數，在（0，+∞）上為增函數，與已知矛盾．
若-b＞0，即b＜0．f（x）在（-∞，0）內為增函數，在（0，-b）上為減函數，在（-b，+∞）上為增函數，
∴-b≥4，即b≤-4，
綜上b≤-4．
（Ⅲ）證明：
∵g（x）=ax²+bx+c，a＞0，b²-4ac＞0，
∴g（x）的圖象為開口向上且與x軸有兩個不同交點的拋物線，
∵-4a＜b＜4a，a＞0，
∴-2＜-

b

2a

＜2
∵-（4a+c）＜2b＜4a+c，
∴

4a+2b+c＞0 4a-2b+c＞0

，
即

g(2)＞0 g(-2)＞0

∴g（x）=0的根在區間（-2，2）內，即g（x）的零點在區間（-2，2）內．

點評：本題主要考查函數的單調性和導數之間的關系，以及函數零點的證明和判斷，考查學生的運算能力，綜合性較強，難度較大．