Question

已知函數(shù)
（1）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；
（2）若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，求的取值范圍；
（3）若對(duì)任意的，均有，求的取值范圍．

Answer 1

（1），；（2）或；（3）.

解析試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)求切線方程、判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查函數(shù)思想、分類討論思想，考查綜合分析和解決問題的能力.第一問，利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，先求導(dǎo)，將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入到導(dǎo)數(shù)中，得到切線的斜率，再求即切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，直接利用點(diǎn)斜式寫出切線方程；第二問，先將代入得到解析式，求導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0f/1/gcr36.png" style="vertical-align:middle;" />在有唯一的零點(diǎn)，所以或，所以解得或；第三問，屬于恒成立問題,通過分析題意，可以轉(zhuǎn)化為在上的最大值與最小值之差，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a6/5/2vwuz1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以討論的正負(fù)來判斷的正負(fù)，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，需列表判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值來決定最值的位置，這種情況中還需要討論與1的大小.
試題解析：(1) ，所以，得.      2分
又，所以，得.      3分
（2） 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/cd/e/1err74.png" style="vertical-align:middle;" />所以， .      4分
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增                  5分
又，可知在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)等價(jià)于
或，                             .      7分
得或.                                    8分
(3)若對(duì)任意的，均有，等價(jià)于
在上的最大值與最小值之差                 10分
（ⅰ） 當(dāng)時(shí)，在上，在上單調(diào)遞增，
由，得，
所以                                   9分
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由得

由得或