Question

【題目】已知f（x）=﹣ sin（2x+ ）+2，求：
（1）f（x）的最小正周期及對稱軸方程；
（2）f（x）的單調遞增區間；
（3）若方程f（x）﹣m+1=0在x∈[0， ]上有解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于f（x）=﹣ sin（2x+ ）+2，它的最小正周期為 =π，

令2x+ =kπ+ ，求得x= + ，k∈Z，故函數f（x）的圖象的對稱軸方程為x= + ，k∈Z

（2）解：令2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，求得 kπ+ ≤x≤kπ+ ，可得函數f（x）的增區間為[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z
（3）解：若方程f（x）﹣m+1=0在x∈[0， ]上有解，則函數f（x）的圖象和直線y=m﹣1在x∈[0， ]上有交點．

∵x∈[0， ]，∴2x+ ∈[ ， ]，sin（2x+ ）∈[﹣ ，1]，f（x）∈[2﹣ ， ]，

故m﹣1∈[2﹣ ， ]，∴m∈[3﹣ ， ]

【解析】（1）由條件利用正弦函數的最小正周期、正弦函數的圖象的對稱性，得出結論．（2）求出y=sin（2x+ ）的減區間，即為f（x）的單調遞增區間，再利用正弦函數的單調性得出結論．（3）由題意可得函數f（x）的圖象和直線y=m﹣1在x∈[0， ]上有交點，根據正弦函數的定義域和值域求出f（x）的值域，可得m的范圍．