Question

（2013•廣東）如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分別是AC，AB上的點，CD=BE=

2

，O為BC的中點．將△ADE沿DE折起，得到如圖2所示的四棱椎A′-BCDE，其中A′O=

3

．
（1）證明：A′O⊥平面BCDE；
（2）求二面角A′-CD-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）連接OD，OE．在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，CD=BE=

2

，AD=AE=2

2

，CO=BO=3．分別在△COD與△OBE中，利用余弦定理可得OD，OE．利用勾股定理的逆定理可證明∠A^′OD=∠A^′OE=90°，再利用線面垂直的判定定理即可證明；
（2）方法一：過點O作OF⊥CD的延長線于F，連接A'F．利用（1）可知：A'O⊥平面BCDE，根據三垂線定理得A'F⊥CD，所以∠A'FO為二面角A'-CD-B的平面角．在直角△OCF中，求出OF即可；
方法二：取DE中點H，則OH⊥OB．以O為坐標原點，OH、OB、OA'分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系．利用兩個平面的法向量的夾角即可得到二面角．

解答：（1）證明：連接OD，OE．
因為在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，CD=BE=

2

，CO=BO=3．
在△COD中，OD=

CO2+CD2-2CO•CDcos45°

=

5

，同理得OE=

5

．
因為AD=A′D=A′E=AE=2

2

，A′O=

3

．
所以A'O²+OD²=A'D²，A'O²+OE²=A'E²．
所以∠A'OD=∠A'OE=90°
所以A'O⊥OD，A'O⊥OE，OD∩OE=O．
所以A'O⊥平面BCDE．
（2）方法一：
過點O作OF⊥CD的延長線于F，連接A'F
因為A'O⊥平面BCDE．
根據三垂線定理，有A'F⊥CD．
所以∠A'FO為二面角A'-CD-B的平面角．
在Rt△COF中，OF=COcos45°=

3 2

2

．
在Rt△A'OF中，A′F=

AO2+OF2

=

30

2

．
所以cos∠A′FO=

OF

A′F

=

15

5

．
所以二面角A'-CD-B的平面角的余弦值為

15

5

．
方法二：
取DE中點H，則OH⊥OB．
以O為坐標原點，OH、OB、OA'分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系．
則O(0，0，0)，A′(0，0，

3

)，C(0，-3，0)，D(1，-2，0)

OA′

=(0，0，

3

)是平面BCDE的一個法向量．
設平面A'CD的法向量為n=（x，y，z）

CA′

=(0，3，

3

)，

CD

=(1，1，0)．
所以

n• CA′ =3y+ 3 z=0 n• CD =x+y=0

，令x=1，則y=-1，z=

3

．
所以n=(1，-1，

3

)是平面A'CD的一個法向量
設二面角A'-CD-B的平面角為θ，且θ∈(0，

π

2

)
所以cosθ=

OA′ •n

| OA′ |•|n|

=

3

3 × 5

=

15

5

所以二面角A'-CD-B的平面角的余弦值為

15

5

點評：本題綜合考查了等腰直角三角形的性質、余弦定理、線面垂直的判定與性質定理、三垂線定哩、二面角、通過建立空間直角坐標系利用法向量的夾角求二面角等基礎知識與方法，需要較強的空間想象能力、推理能力和計算能力．