Question

11、定義在R上的函數f（x）既是奇函數，又是周期函數，T是它的一個正周期．若將方程f（x）=0在閉區間[-T，T]上的根的個數記為n，則n可能為（　　）

A、0

B、1

C、3

D、5

Answer 1

分析：分別分析（0，T）和（-T，0）函數的根的數量．

解答：解：∵T是f（x）的一個正周期
∴-T、0、T是f（x）=0的根，若在（0，T）上沒有根，則恒有f（x）＞0或f（x）＜0；
不妨設f（x）＞0，則x∈（-T，0）時，f（x）＜0，但又有f（x）=f（x+T）＞0，矛盾．
∴f（x）=0在（0，T）上至少還有一個根．
同理，在（-T，0）上也至少還有一個根，
∴至少有5個根．
故選D

點評：本題主要考查函數的奇偶性．在本題中注意推論的嚴密性．