Question

如圖，已知橢圓E:的離心率為，過左焦點且斜率為的直線交橢圓E于A,B兩點，線段AB的中點為M,直線：交橢圓E于C,D兩點.

（1）求橢圓E的方程；
（2）求證：點M在直線上；
（3）是否存在實數(shù)k,使得三角形BDM的面積是三角形ACM的3倍？若存在，求出k的值；
若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見解析；（3）存在.

試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程、直線與橢圓的相交問題、韋達定理、中點坐標公式等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問，利用已知的離心率和左焦點坐標，得到基本量a,b,c的值，從而得到橢圓的標準方程；第二問，設(shè)出點A、B、M的坐標和直線的方程，令直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用所得方程，根據(jù)韋達定理得到，從而得到的坐標，由直線方程獲得，驗證是否在上即可；第三問，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)已知條件將題目轉(zhuǎn)化為C點坐標與M點坐標的關(guān)系，通過直線與橢圓聯(lián)立消參，得到的坐標，令，解出k的值，k有解，即存在.
試題解析：（1）由題意可知，，于是.
所以，橢圓的標準方程為程.                3分
（2）設(shè)，，，
即.
所以，，，，
于是.
因為，所以在直線上.             8分
（3）由（2）知點A到直線CD的距離與點B到直線CD的距離相等，
若∆BDM的面積是∆ACM面積的3倍，
則|DM|=3|CM|，因為|OD|=|OC|，于是M為OC中點，；
設(shè)點C的坐標為，則.因為，解得.
于是，解得，所以.        14分