Question

如圖，在正四棱錐P-ABCD中，若

S△PBD

S△PAD

=

6

2

，則二面角P-BC-A等于（　　）

• A．

  π

  6

• B．

  π

  4

• C．

  π

  3

• D．

  5π

  12

Answer 1

分析：正四棱錐的幾何特征可得∠PFE即為二面角P-BC-A的平面角，設正四棱錐P-ABCD的底面棱長為a，側棱長為b，結合已知中兩個三角形面積比為定值，求出棱長之間的關系，進而解三角形PEF可得答案．

解答：解：設正四棱錐P-ABCD的底面棱長為a，側棱長為b
則棱錐的高PO=

b2-( 2 2 a)2

=

b2- a2 2

，故S_△PBD=

1

2

BD•PO=

a

2

•

2b2-a2

棱錐側面PAD的高為PE=

b2- a2 4

，故S_△PAD=

1

2

•PE•AD=

a

2

•

b2- a2 4

∵

S△PBD

S△PAD

=

6

2

=

2b2-a2

b2- a2 4

即b=

5

2

a
∴PE=PF=a
由正四棱錐的幾何特征可得∠PFE即為二面角P-BC-A的平面角
在△PEF中PE=PF=EF
∴∠PFE=

π

3

即二面角P-BC-A等于

π

3

故選C

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，由于未給出棱長等信息，故難度較大．其中根據已知分析出棱長之間的比例關系是解答的關鍵