Question

如圖，在正四棱錐P-ABCD中，PA=AB=a，點E在棱PC上．
（1）問點E在何處時，PA∥平面EBD，并加以證明；
（2）求二面角C-PA-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知，只需證明PA與面EDB內一條直線平行即可，因此連接AC，EO，AC∩BD=O，則O為AC的中點，證出PA∥EO，則PA∥平面EBD
（2）取PA的中點F，連接OF，BF，證出∠BFO為二面角C-PA-B的平面角，解△BOF 即可．

解答：解：（1）當E為PC中點時，PA∥平面EBD
連接AC，EO，且AC∩BD=O
∵四邊形ABCD為正方形，
∴O為AC的中點，又E為中點，
∴OE為△ACP的中位線，
∴PA∥EO
又PA?面EBD，EO?平面EBD
∴PA∥平面EBD
（2）取PA的中點F，連接OF，BF，
∵PC=PA=a，AC=

2

a，∴CP⊥AP
∵O，F為中點，
∴OF∥CP，即OF⊥PA，
又∵BP=BA，F為PA中點∴BF⊥PA，
所以∠BFO為二面角C-PA-B的平面角．
在正四棱錐P-ABCD中易得：BF=

3

2

a，FO=

1

2

PC=

1

2

a，BO=

1

2

BD=

2

2

a
∴BF²=FO²+BO²，
∴△BOF為Rt△，
∴cos∠BFO=

1 2 a

3 2 a

=

3

3

點評：本題考查線面位置關系、二面角的度量，考查分析解決問題、空間想象、轉化、計算的能力與方程思想．