Question

甲、乙、丙三人獨立破譯同一份密碼，已知甲、乙、丙各自破譯出密碼的概率分別為，
且他們是否破譯出密碼互不影響，若三人中只有甲破譯出密碼的概率為.
（1）求的值，
(2）設在甲、乙、丙三人中破譯出密碼的總人數為X，求X的分布列和數學期望E（X）.

Answer 1

（1）；（2）分布列詳見解析，.

試題分析：本題主要考查概率的計算公式、事件的相互獨立性、離散型隨機變量的分布列與數學期望等基礎知識，考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力，考查基本運算能力.第一問，是事件的相互獨立性，通過獨立事件的概率公式列出已知條件中的表達式，解方程解出；第二問，是求分布列和期望，同樣利用獨立事件的概率公式，求出每一種情況下的概率，畫出分布列，利用期望的計算公式計算期望.
試題解析：記“甲、乙、丙三人各自破譯出密碼”分別為事件，依題意有，，且相互獨立.        2分
（1）設“三人中只有甲破譯出密碼”為事件，
則有.          5分
所以，得.         6分
（2）的所有可能取值為0,1,2,3.
所以，
，
，
.        10分
的分布列為

所以.        12分