Question

如圖，四棱錐P--ABCD中，PB⊥底面ABCD．底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB=AD=PB=3，BC=6．點(diǎn)E在棱PA上，且PE=2EA．
（1）求異面直線PA與CD所成的角；
（2）求證：PC∥平面EBD；
（3）求二面角A-BE--D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BA為x軸，以BC為y軸，以BP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)至B-xyz，利用兩個(gè)向量的所成角即為異面直線CD與PA所成的角，可得結(jié)論；
（2）欲證PC∥平面EBD，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證PC與平面EBD內(nèi)一直線平行連接AC交BD于G，連接EG，根據(jù)比例關(guān)系可知PC∥EG，而EG?平面EBD，PC?平面EBD，滿足定理所需條件；
（3）先求平面EBD的法向量與平面ABE的法向量，然后利用向量的夾角公式求出此角的余弦值即二面角A-BE-D的大小的余弦值．

解答：（1）解：如圖，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BA為x軸，以BC為y軸，以BP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz．

設(shè)BC=a，則A（3，0，0），P（0，0，3），D（3，3，0），C（0，6，0）
∴

CD

=（3，-3，0），

PA

=（3，0，-3）
∴cos＜

PA

，

CD

＞=

PA • CD

| PA || CD |

=

9

3 2 •3 2

=

1

2

，
因此異面直線CD與PA所成的角為60°；
（2）證明：連接AC交BD于G，連接EG．
∵

AG

GC

=

AD

BC

=

1

2

，

AE

EP

=

1

2

，∴

AG

GC

=

AE

EP

∴PC∥EG
又∵EG?平面EBD，PC?平面EBD
∴PC∥平面EBD；
（3）解：設(shè)平面EBD的法向量為

n

=（x，y，1），
設(shè)E（a，0，c），則∵PE=2EA，∴（a，0，c-3）=2（3-a，0，-c）
∴a=2，c=1，∴E（2，0，1）
∴

BE

=（2，0，1），
∵

BD

=（3，3，0）
∴由

n • BE =2x+1=0 n • BD =3x+3y=0

，可得x=-

1

2

，y=

1

2

∴

n

=（-

1

2

，

1

2

，1）
又∵平面ABE的法向量為

m

=（0，1，0），
∴cos（

n

，

m

）=

n • m

| n || m |

=

6

6

．
即二面角A-BE-D的大小的余弦值為

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、兩異面直線所成角、二面角及其平面角等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力和思維能力，應(yīng)用向量知識(shí)解決立體幾何問題的能力．