Question

如圖1，在正三角形ABC中，AB=3，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點，AE=CF=CP=1．將△AFE沿折起到△A₁EF的位置，使平面A₁EF與平面BCFE垂直，連接A₁B、A₁P（如圖2）．
（1）求證：PF∥平面A₁EB；
（2）求證：平面BCFE⊥平面A₁EB；
（3）求四棱錐A₁-BPFE的體積．

Answer 1

（1）證明：∵CF=CP=x，CA=CB，∴PF∥BE
∵PF?平面A₁BE，BE?平面A₁BE
∴PF∥平面A₁EB；
（2）證明：∵AE=1，AF=2，∠A=60°
∴EF=，∴EF⊥A₁E，EF⊥BE
∵A₁E∩BE=E
∴EF⊥平面A₁EB
∵EF?平面BCFE
∴平面BCFE⊥平面A₁EB；
（3）∵平面A₁EF與平面BCFE垂直，EF⊥A₁E，平面A₁EF與平面BCFE的交線為EF
∴A₁E⊥平面BCFE
∵
∵A₁E=1
∴V_A1-BPFE=××1=
分析：（1）證明PF∥平面A₁EB，利用線面平行的判定定理，證明PF∥BE即可；
（2）證明平面BCFE⊥平面A₁EB．利用面面垂直的判定定理，證明EF⊥平面A₁EB即可；
（3）證明A₁E⊥平面BCFE，即可求四棱錐A₁-BPFE的體積．
點評：本題考查線面平行，面面垂直，考查四棱錐的體積計算．對于圖形的翻折問題，關健是利用翻折前后的不變量．