Question

如圖1,已知在△ABC中,=a,=b,=c.若a·b=b·c=c·a.求證:△ABC為正三角形.

圖1

Answer 1

活動:教師引導學生回顧,向量具有二重性,一方面具有“形”的特點,因此有了幾何運算;另一方面又具有一套優良的代數運算性質,因此又有了代數運算.對于這兩種運算,前者難度大,靈活多變,對學生來說是個難點,后者學生感到熟悉,易于掌握,但應讓學生明了,這兩種方法都要掌握好,近幾年高考題的解答都是以兩種解法給出.本題給出的是三角形,對于某些幾何命題的抽象的證明,自然可以轉化為向量的幾何運算問題來解決,請同學們在探究中要注意仔細體會,領悟其實質.教學中,教師要放手大膽地讓學生自己去探究,鼓勵學生從不同的角度去觀察、去發現.真正做到一題多用,一題多變,串聯知識,串聯方法,使學生在探究過程中掌握孤零知識,提高思維能力,提高復習效率.

證法一:由題意,得a+b+c=0,∴c=-(a+b).

又∵b·c=c·a,∴c·(a-b)=0.

∴-a²+b²=0.∴|a|²=|b|²,即|a|=|b|.

同理可得|c|=|b|,∴|a|=|b|=|c|.

∴△ABC為正三角形.

證法二:由題意得a+b+c=0,∴a=-b-c,b=-a-c.

∴a²=b²+c²+2b·c,b²=a²+c²+2a·c.

而b·c=c·a(已知),

∴a²-b²=b²-a².

∴a²=b².∴|a|²=|b|².

∴|a|=|b|.

同理可得|c|=|b|,∴|a|=|b|=|c|.

∴△ABC為正三角形.

圖2

證法三:如圖2,以AB,BC為鄰邊作ABCD,則=a,=-,

∴=a-c.

又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0.

∴b·=0.∴b⊥.

∴ABCD為菱形.∴AB=BC.同理可得BC=AC,

∴△ABC為正三角形.

證法四:取的中點E,連接AE,則

=(+)=(c-b),

∴·a=(c-b)·a=0.

∴⊥a.∴AB=AC.

同理可得BC=AC,

∴△ABC為正三角形.

點評:本題給出了四種證法,教師要善于引導學生進行一題多解,這是一種很有效的辦法.數學教學中,一題多解訓練是培養學生思維靈活的一種良好手段.通過一題多解的訓練能溝通知識之間的內在聯系,提高學生應用所學的基礎知識與基本技能解決實際問題的能力,逐步學會舉一反三的本領,在教材安排的例題中,有相當一部分題目存在一題多解的情況,教師要引導學生善于挖掘.