Question

（2006•松江區模擬）已知復數z=a2-a-6+

a2+2a-15

a2-4

i，
（1）當a∈（-2，2）時，求|z-

a2+2a-15

a2-4

i|的取值范圍；
（2）（理）是否存在實數a，使得z²＜0，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．
（文）是否存在實數a，使得z=-

.

z

，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意知|z-

a2+2a-15

a2-4

i|=|a2-a-6|，當a∈（-2，2）時，可得a²-a-6＜0，去掉絕對值號后配方求取值范圍
（2）理：由題設條件，若存在z²＜0，則必有復數實部為0，虛部不為0，由此關系得到a的滿足的不等式組，解a的可能取值，若解出值，說明存在，否則不存在；
文：由題設，若 存在實數a，使得z=-

.

z

，則必有實部為0，由此得a²-a-6=0，解此方程若有符合條件的解，則說明存在，否則不存在

解答：解：（1）∵a∈（-2，2），
∴|z-

a2+2a-15

a2-4

i|=|a2-a-6|=-a2+a+6=-(a-

1

2

)2+

25

4

∈(0，

25

4

]．
（2）（理）∵z²＜0，
∴z為純虛數，
∴

a2-a-6=(a-3)(a+2)=0 a2+2a-15 a2-4 = (a-3)(a+5) (a-2)(a+2) ≠0

⇒a∈Φ
（文）∵z=-

.

z

，
∴Rez=0，
∴a²-a-6=0⇒a=3或a=-2（舍去）
存在a=3滿足題意．

點評：本題考查復數代數形式的混合運算，復數的基本概念，解題的關鍵是理解題意及復數的基本概念，將題設中條件正確轉化，本題考查了判斷推理的能力及轉化的思想，方程的思想，是復數中綜合性較強的題．