Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知為坐標原點，點的坐標為，點的坐標為，其中且.設.

（1）若，，，求方程在區間內的解集；

（2）若點是直線上的動點.當時，設函數的值域為集合，不等式的解集為集合.若恒成立，求實數的最大值；

（3）若函數滿足“圖像關于點對稱，且在處取得最小值”，求、和滿足的充要條件.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）使得函數滿足“圖像關于點對稱，且在處取得最小值”的充要條件是“當時，（）或當時，（）”

【解析】

（1）由題意，，時，由，可得，

可得，，，再結合，易求得在區間內的解集。（2）先根據輔助角公式化簡

，求出值域根據

的解為0和，故要使恒成立，即可求出的最大值。（3）

先根據三角函數圖像特點求得，進而求得的表達式，然后分別討論

和兩種情況分別討論可求得、和滿足的充要條件。

解：（1）由題意，

當，，時，，

，則有或，.

即或，.又因為，故在內的解集為.

（2）在該直線上，故.因此，，

所以，的值域.

又的解為0和，故要使恒成立，只需

，而，

即，所以的最大值.

（3）解：因為，設周期.

由于函數須滿足“圖像關于點對稱，且在處取得最小值”.

因此，根據三角函數的圖像特征可知，

，.

又因為，形如的函數的圖像的對稱中心都是的零點，故需滿足，而當，時，

因為，；所以當且僅當，時，的圖像關于點對稱；此時，，.

（i）當時，，進一步要使處取得最小值，則有，；又，則有，；因此，由可得，；

（ii）當時，，進一步要使處取得最小值，則有，；又，則有，；因此，由可得，；

綜上，使得函數滿足“圖像關于點對稱，且在處取得最小值”的充要條件是“當時，（）或當時，（）”.