Question

【題目】已知f（n）=1+ ，g（n）= ﹣ ，n∈N* ．
（1）當n=1，2，3時，試比較f（n）與g（n）的大小關系；
（2）猜想f（n）與g（n）的大小關系，并給出證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=1時，f（1）=1，g（1）=1，所以f（1）=g（1）；

當n=2時， ， ，

所以f（2）＜g（2）；

當n=3時， ， ，

所以f（3）＜g（3）

（2）解：由（1），猜想f（n）≤g（n），下面用數學歸納法給出證明：

①當n=1，2，3時，不等式顯然成立．

②假設當n=k（k≥3）時不等式成立，

即即 ＜ ，

那么，當n=k+1時， ，

因為 ，

所以 ．

由①、②可知，對一切n∈N*，都有f（n）≤g（n）成立

【解析】（1）根據已知 ， ，n∈N* ． 我們易得當n=1，2，3時，兩個函數函數值的大小，比較后，根據結論我們可以歸納推理得到猜想f（n）≤g（n）；（2）但歸納推理的結論不一定正確，我們可用數學歸納法進行證明，先證明不等式f（n）≤g（n）當n=1時成立，再假設不等式f（n）≤g（n）當n=k（k≥1）時成立，進而證明當n=k+1時，不等式f（n）≤g（n）也成立，最后得到不等式f（n）≤g（n）對于所有的正整數n成立；